Drept MD

Acasă » Cursuri universitare » Logica Juridică » ELEMENTE DE LOGICĂ A PREDICATELOR

ELEMENTE DE LOGICĂ A PREDICATELOR


Unele feluri de judecăţi nu pot fi adecvat formalizate prin mijloacele logicii enunţurilor şi ale propoziţiilor categorice. Dintre acestea fac parte propoziţiile complexe.

Pentru analiza logică a propoziţiilor complexe şi a inferenţelor cu astfel de propoziţii a fost creată o teorie specială – logica predicatelor, care a devenit un compartiment al logicii moderne şi este rezultatul generalizării anumitor idei ale logicii clasice şi logicii simbolice.

În cadrul acestei teme vom lua cunoştinţă doar cu cele mai generale idei ale logicii predicatelor, fără de care nu poate fi concepută structura multor norme juridice, etice etc.

5.1. Predicate ca funcţii logice. Limbajul

logicii predicatelor

Propoziţiile complexe sunt forme logice, ireductibile la propoziţii categorice sau la propoziţii compuse. Fie, de pildă, propoziţia Orice persoană fizică respectă legislaţia în vigoare sau nu o respectă nu poate fi tratată nu poate fi tratată ca propoziţie categorică, deoarece predicatul ei conţine noţiunea relativă „respectă”. Pe de altă parte, această propoziţie nu satisface regulile propoziţiilor compuse, deoarece ea nu poate fi înlocuită cu propoziţia compusă Orice persoană fizică respectă legislaţia în vigoare sau orice persoană fizică nu respectă legislaţia în vigoare. Propoziţia compusă de mai sus este o disjuncţie, cu ambele componente false şi, deci, este falsă.

Logica predicatelor (sau logica propoziţiilor complexe) ce reprezintă dezvoltarea teoriei clasice a propoziţiilor logice, de asemenea operează cu termenii subiect şi predicat. În această teorie predicatul are semnificaţie de funcţie logică specifică.

Logica predicatelor cuprinde logica funcţiilor de adevăr. Ea foloseşte un limbaj specific şi un sistem de simboluri speciale.

Prin predicat vom înţelege noţiunile care denotă însuşiri, genuri, relaţii şi care sunt simbolizate cu majuscule ale alfabetului latin F,G,H, …, P, Q, R etc.

O însuşire (de pildă, disciplinat, calm) sau un gen (de pildă, jurist, delincvenţă) caracterizează obiectele. Există obiecte determinate şi nedeterminate. Obiectele determinate (lucruri, fenomene, nume proprii etc.) sunt desemnate cu minuscule (a, b, c, d ş. a.) şi se numesc constante individuale. Pentru a desemna obiectele nedeterminate, se folosesc minuscule de la finele alfabetului latin (x, y, z), denumite variabile individuale.

Predicatele care desemnează o însuşire sau un gen şi sunt urmate de o singură variabilă sau constantă se numesc monadice sau de un singur loc, de pildă, P(x), P(y), P(z), P(a), Q(b), N(c). Predicatele care denotă relaţii şi sunt urmate de două sau mai multe variabile individuale se numesc poliadice (diadice, triadice etc.) sau de mai multe locuri. De pildă, a fi căsătorit (C(x, y) se citeşte x este căsătorit cu y), a vinde (V (x, y, z) se citeşte x vinde lui z marfa y).

Schemele de tipul C (x, y) (predicat diadic), V (x, y, z) (predicat triadic) se numesc formule elementare (atomare) predicative deschise.

O distincţie importantă în logica predicatelor este între propoziţiile închise (determinate) şi propoziţiile deschise (nedeterminate). De pildă, omorul este o infracţiune (P(a)) este o propoziţie închisă adevărată, iar furtul este o binefacere (P(b)) este o propoziţie închisă falsă. Propoziţia x este o infracţiune (P(x)) este o propoziţie deschisă, adică nici adevărată, nici falsă. Cu alte cuvinte, propoziţiile deschise sunt funcţii propoziţionale, deoarece ele conţin, cel puţin, o variabilă individuală. Funcţiile propoziţionale pot deveni enunţuri (propoziţii închise), adevărate sau false, prin substituţia variabilelor individuale cu constante individuale. Dacă, de exemplu, în propoziţia x este o infracţiune punem în locul lui x furt sau prietenie, obţinem, respectiv, o propoziţie adevărată sau falsă (furtul este o infracţiune sau prietenia este o infracţiune). Din formulele predicative elementare deschise, folosind cuantori, se pot obţine formule predicative elementare închise sau propoziţii atomare. Cuantorii sunt operatori logici care exprimă operaţia cuantificării propoziţiilor logice, formulelor elementare ş. a. În logică se folosesc doi cuantori: cuantorul universal (, se citeşte pentru orice) şi cuantorul existenţei ($, se citeşte există). Cuantorul universal () este urmat de anumite semne, formând combinaţii sau formule de tipul x care se citesc pentru orice x, oricare ar fi x; orice x. Cuantorul existenţial ($), de asemenea, este urmat de diferite semne, alcătuind formule de tipul $x care se citesc există cel puţin un x, astfel încât ş. a. De pildă, formulele elementare închise x P(x), $x Q(x), x $y R(x, y) pot fi interpretate astfel: oricare ar fi norma juridică (x), ea are o structură logică determinată (P(x)); există, cel puţin, un infractor (x) minor (Q (x));pentru orice om normal (x) există, cel puţin, o persoană (y) căruia îi este prieten (R(x, y)).

Într-o formă predicativă, variabilele la care se referă un cuantor se numesc cuantificate sau legate, în timp ce variabilele fără cuantor se numesc libere. Astfel, în formula x $y R(x, y), ambele variabile sunt legate, iar în formula $y P(x, y) variabila x este liberă.

La schemele predicative pot fi aplicaţi operatorii propoziţionali (negaţia, conjuncţia, implicaţia ş. a.): clip_image002, x y (P(x,y) Ù Q(x,y)), x P(x)®$x P(x), x y P(x,y) Ú Q(z) etc.

Orice apariţie a variabilei individuale pe lângă predicate se numeşte „intrare”. În formula y Q(y) ®$y Q(y), y apare în antecedentul şi consecventul implicaţiei, deci are două intrări.

Acea parte dintr-o formulă, asupra căreia se extinde (adică la care se referă) cuantorul, se numeşte „domeniul de acţiune al cuantorului”. Toate intrările din domeniul de acţiune (al cuantorului) sunt legate (cuantificate). De exemplu, în formula x (P(x)ÚQ(x))®$x $y R(x, y), domeniul de acţiune al lui x este P(x)ÚQ(x).

Să revenim la propoziţia (de la începutul paragrafului) orice persoană fizică respectă legislaţia în vigoare sau nu o respectă. Această propoziţie, din punct de vedere logic, este identică cu propoziţia orice persoană fizică respectă legislaţia în vigoare sau nu respectă legislaţia în vigoare. Facem abstracţie de la unele amănunte care vor fi demonstrate mai târziu şi aplicăm principiul noncontradicţiei: este inadmisibil clip_image004, adică clip_image006. Deci fiind persoană fizică, este inadmisibil, în acelaşi timp, a respecta şi a nu respecta legislaţia în vigoare. Formal, aceasta poate fi redat astfel: clip_image008 (se citeşte “pentru orice x, nu este adevărat că x este persoană fizică (P(x)) şi, în acelaşi timp, respectă legislaţia în vigoare (R(xl)) şi x nu o respectă (clip_image010)”. În baza logicii propoziţionale, vom transforma această formulă în echivalenta ei:

clip_image012.

Ambele formule sunt adevărate şi corespund propoziţiei naturale date. A doua formulă se citeşte “pentru orice x, dacă x este persoană fizică (P(x)), atunci respectă legislaţia în vigoare (R(xl)) sau nu respectă legislaţia în vigoare (clip_image010[1]).

În concluzie, limbajul logicii predicatelor este alcătuit din:

· constante individuale (a, b, c etc.);

· variabile individuale (x, y, z);

· formule predicative (sau scheme de funcţii propoziţionale), monadice (P(x), Q(y) etc.) sau poliadice (F(x, y), G(x, y, z) etc.);

· cuantori (, $ ) şi operatori propoziţionali (Ø, Ù, Ú, ® etc.);

· scheme predicative cuantificate elementare (sau formule de propoziţii atomare (x P(x), x y R(x, y) etc.) sau complexe, adică neelementare (x y P(x, y) ® $x $y P(x, y) ş. a.).

5.2. Valoarea de adevăr a formulelor predicative închise. Operaţii cu formule predicative. Relaţii între cuantori

Ca şi în cazul formulelor logicii propoziţionale, rezolvarea problemei valorii de adevăr a unei formule predicative presupune interpretarea acesteia. A interpreta o formulă predicativă înseamnă a-i asocia o clasă de obiecte numită univers de discurs U. Universul de discurs (U) reprezintă sfera unei noţiuni – gen pentru termenii aflaţi în componenţa formulelor predicative. Fie, de pildă, P(x) (x este jurist şi U – clasa persoanelor cu studii superioare sau medii speciale). În acest caz, formula x P(x) (orice persoană cu studii superioare sau medii speciale (x) este jurist) este falsă, în timp ce formula $x P(x) (există persoane cu studii superioare sau medii speciale (x) jurişti) este adevărată. La nivel general, adevărul sau falsul unei scheme (formule) predicative este determinat de următoarele condiţii:

· o schemă închisă (cuantificată) universal (propoziţie simplă, atomară de tipul x P(x)) este adevărată pentru un univers (U) nevid, numai dacă toate obiectele din universul U au proprietatea P, şi este falsă, numai dacă în U există, cel puţin, un obiect care nu are proprietatea P;

· o schemă închisă (cuantificată) existenţial (de tipul $ x P(x)) este adevărată pentru un U nevid, numai dacă în U există, cel puţin, un obiect care are proprietatea P, şi este falsă, numai dacă nici un obiect din U nu are proprietatea P.

La schemele de funcţii şi de propoziţii pot fi aplicaţi operatorii propoziţionali. Dacă predicatul P este determinat în universul U, atunci şi negaţia acestuia, adică predicatul clip_image014 (ØP), de asemenea, este determinat în U (vezi figura 5.1.).

clip_image016 Formula clip_image018 este adevărată numai pentru acei x din U, pentru care P(x) este falsă. Deci predicatele P şi clip_image014[1] sunt complementare alcătuind două clase (mulţimi) contradictorii ce epuizează universul U.

Dacă universului U îi corespund predic-atele P şi Q, atunci acestui univers îi vor corespunde şi predicatele compuse:

1. P(x)ÙQ(x); 4. P(x)®Q(x);

2. P(x)ÚQ(x); 5. P(x)¬Q(x);

3. P(x)ÚÚ Q(x); 6. P(x)«Q(x);

1. Formula predicativă P(x)ÙQ(x) este adevărată numai pentru acei x din U, pentru care ambele predicate P(x) şi Q(x) sunt adevărate. Cu alte cuvinte, acest predicat compus este adevărat numai pentru acei x, care reprezintă intersecţia valorilor de adevăr ale predicatelor P(x) şi Q(x) (figura 5.2).

2.

clip_image020

Formula predicativă P(x)ÚQ(x) este adevărată numai pentru acei x din U, pentru care, cel puţin, unul din predicatele P(x) şi Q(x) sunt adevărate. Cu alte cuvinte, acest predicat compus este adevărat pentru acei x din U care alcătuiesc reuniunea valorilor de adevăr ale lui P(x) şi Q(x) (figura 5.3).

3. Formula predicativă P(x)ÚÚ Q(x) este adevărată numai pentru acei x din U, pentru care P(x) este adevărat, iar Q(x) este fals, sau P(x) este fals, iar Q(x) adevărat (fig.5.4):

clip_image022.

4.
Formula predicativă P(x)®Q(x) este adevărată numai pentru acei x din U, pentru care, cel puţin, unul dintre predicatele clip_image024 şi Q(x) sunt adevărate (reuniunea valorilor de adevăr ale lui clip_image024[1] şi Q(x)), deoarece clip_image026 (fig.5.5).

5. clip_image029Formula predicativă P(x)¬Q(x) este adevărată numai pentru acei x din U care alcătuiesc reuniunea valorilor de adevăr ale lui P(x) şi Q(x), deoarece clip_image031 (fig.5.6).

6.

clip_image034

În fine, formula predicativă clip_image036 este adevărată numai pentru acei x din U, pentru care sunt adevărate, cel puţin, una din formulele clip_image038 şi clip_image040, deoarece clip_image042º clip_image038[1]clip_image040[1]) (fig. 5.7).

Cele expuse mai sus ne permit să formulăm următoarea concluzie:

Operatorii propoziţionali transformă formulele predicative simple în formulei predicative compuse şi, prin aceasta, logica propoziţională îşi lărgeşte considerabil sfera de aplicabilitate în procesul formalizării judecăţilor naturale.

Dacă în formula predicativă P (x1, x2,…¸ xn), în care P este constantă predicativă, iar x1, x2,…¸ xn – variabile individuale, vom înlocui variabilele individuale cu constante individuale, vom obţine o propoziţie atomară P (a1, a2,…¸ an) – adevărată sau falsă. Atunci când fiece element al universului U posedă însuşirea P, obţinem formule cuantificate de tipul x P(x). Dacă doar unele elemente ale acestui univers posedă însuşirea P, obţinem formule predicative cuantificate, tip $x P(x).

Cuantorii universali şi existenţiali pot fi trataţi ca generalizări, respectiv, ale conjuncţiei şi disjuncţiei neexclusive (inclusive):

(x) º P(a1)ÙP(a2)ÙÙP(an);

$(x) º P(a1)ÚP(a2)ÚÚP(an);

Dacă formulele predicative conţin variabile ce aparţin mulţimilor infinite, atunci aceşti cuantori exprimă conjuncţii şi disjuncţii infinite.

Pentru a transforma un predicat poliadic într-o propoziţie, e necesar a cuantifica („lega”) fiecare variabilă individuală. Cuantificând o formulă predicativă diadică, tip R(x, y), obţinem 8 combinaţii:

1. xy(R(x, y)) – pentru orice x şi orice y R(x, y);

2. yx(R(x, y)) – pentru orice y şi orice x R(x, y);

3. $x$y(R(x, y)) – există x şi y, astfel că R(x, y);

4. $y$ x(R(x, y)) – există y şi x, astfel că R(x, y);

5. y$x(R(x, y)) – pentru orice y există x, astfel că R(x, y);

6. $xy(R(x, y)) – există x, astfel că pentru orice y R(x, y);

7. x$y(R(x ,y)) – pentru orice x există y, astfel că R(x ,y);

8. $yx(R(x, y)) – există y, astfel că pentru orice x R(x, y).

Enunţurile 1) şi 2), de asemenea 3) şi 4), au acelaşi sens logic şi deci aceeaşi valoare de adevăr. Dacă este adevărat 6), atunci este adevărat şi 5) (dar nu şi reciproc). Dacă este adevărat 8), atunci este adevărat şi 7) (dar nu şi reciproc).

Prin urmare, cuantorii omogeni (de acelaşi fel) sunt comutativi, iar cuantorii eterogeni sunt necomutativi:

xy(R(x, y)) º yx (R(x, y));

$ x$ y(R(x ,y)) º $ y$ x (R(x, y));

$ xy(R(x, y)) ® y$ x (R(x, y));

$ yx(R(x, y)) ® x$ y (R(x, y));

5.3. Echivalenţa cuantorilor şi transcrierea propoziţiilor categorice în logica predicatelor

Este dat un univers de discurs finit U = {x1, x2,…, xn} şi o proprietate P. A spune că orice element al lui U are proprietatea P este identic cu a spune că x1 are proprietatea P şi x2 are proprietatea P, şi … şi xn are proprietatea P, simbolic:

x P(x) º P(x1)ÙP(x2)ÙÙP(xn).

Analogic, $x P(x) º P(x1)ÚP(x2)ÚÚP(xn).

Mai sus am constatat că cuantorul universal coincide cu o conjuncţie, iar cuantorul existenţial coincide cu o disjuncţie (inclusivă). Deoarece conjuncţia şi disjuncţia (inclusivă) se află în raport de dualitate, ele pot fi reciproc transformate (cu ajutorul negaţiei) una în cealaltă. Astfel, regăsim o analogie a legilor lui De Morgan şi în logica predicatelor:

clip_image044

Deci, cuantorul universal şi cel existenţial se află în raport de dualitate. Formula (x) P(x) este universală, iar $x P(x) este existenţială, altfel spus, particulară.

În general, pentru a exprima negaţia unei formule care începe cu un cuantor universal (existenţial), e suficient ca acest cuantor să fie înlocuit cu cel existenţial (universal), iar expresia consecventă cuantorului să fie negată.

Exemplu: Fie dată formula x$yz(S(x, y, z)). Vom efectua negaţia ei astfel:

clip_image046

Cuantorii care se află în faţa unei formule, iar tot restul formulei intră în domeniul de acţiune al acestora, se numesc prefixul formulei. Formulele cu prefix sunt negate conform următoarei reguli:

Dacă prefixul formulei conţine câţiva cuantori, atunci negarea ei se produce astfel: fiece cuantor se înlocuieşte cu cel dual, iar negaţia trece la consecventul cuantorilor.

Exemplu: clip_image048.

clip_image053

Ca urmare a formulelor (1) – (4) putem extinde la ele pătratul logic (fig.5.8):

clip_image054clip_image055clip_image056

Din pătratul logic reiese că au loc relaţiile:

(5) clip_image058

(6) clip_image060

(7) clip_image062

(8) clip_image064

În continuare, vom transcrie propoziţiile categorice A(SaP), E(SeP), I(SiP), O(SoP) în limbajul logicii predicatelor.

clip_image066 Propoziţia universal afirmativă A(SaP) poate fi redată grafic astfel (fig. 5.9). Evident, clip_image068 este o clasă vidă, deoarece noţiunile S şi clip_image070sunt incompatibile şi, conform principiului noncontradicţiei, obţinem formula: clip_image072.

Aplicăm la această formulă echivalenţa clip_image074 şi obţinem:

clip_image076

Deoarece în logica predicatelor S şi P sunt funcţii propo-ziţionale (S(x) şi P(x)), propoziţia universal afirmativă din logica clasică poate fi transcrisă astfel:

clip_image078

se citeşte:

1. pentru orice x este incompatibil S şi non-P;

2. pentru orice x, dacă x este S, atunci x este P;

3. nu există x care să fie S şi să nu fie P.

În literatura de specialitate predomină transcrierea:

clip_image080).

clip_image081

Analogic, vom obţine transcrierea propoziţiei universal negative din logica clasică (fig.5.10):

clip_image083)clip_image085; clip_image087)clip_image089clip_image091

se citeşte:

1. pentru orice x sunt incompatibile S şi P;

2. pentru orice x, dacă x este S, atunci x nu este P;

3. nu există x care să fie S şi P.

În literatura de specialitate predomină transcrierea clip_image093.

Propoziţiile particulare afirmative SiP şi particular negative SoP (vezi: fig. 5.11 şi fig. 5.12) pot fi transcrise astfel: clip_image095, clip_image097.

clip_image098

clip_image100;

clip_image102.

Deoarece clip_image104, iar clip_image106, aceste formule pot fi demonstrate şi astfel: clip_image108 (se citeşte există, cel puţin, un x, astfel că x este S şi x este P).

clip_image110

(ultima formulă se citeşte: există, cel puţin, un x, astfel că x este S şi x nu este P).

Să reţinem următoarele formule:

(9) clip_image112

(10) clip_image114

(11) clip_image116

(12) clip_image118

Formulele de tipul (9), (10), (11), (12) pot fi raportate cu ajutorul pătratului logic (fig. 5.13).

Transcrierea („traducerea”) propoziţiilor categorice prin mijloacele logicii predicatelor nu este perfectă. Interpretarea tradiţională a propoziţiilor generale este mai adecvată gândirii comune, dar interpretarea în limbajul logicii predicatelor răspunde mai bine exigenţei gândirii ştiinţifice [9, p. 108-113].

clip_image123clip_image124clip_image125

De reţinut că propoziţiile complexe formulate în limbajul natural se traduc în limbajul logicii predicatelor conform regulii: cuantorul universal cere implicaţia, iar cuantorul existenţial cere conjuncţia [5, p. 81].

Propunem în continuare câteva exemple de propoziţii complexe formulate în limbaj natural şi formalizate cu ajutorul logicii predicatelor.

1. Orice delict are făptuitor: clip_image127 (se citeşte pentru orice x, dacă x este delict D(x), atunci există, cel puţin, un y, astfel că este făptuitorul acestui delict (F(yx)).

2. Fiecare cetăţean are obligaţii faţă de stat şi societate: clip_image129 (se citeşte pentru orice x, dacă x este cetăţean (C(x)), atunci există, cel puţin, un y astfel că y este obligaţie a lui x faţă de stat (OS1(xy)) sau/şi faţă de societate (OS2(xy))).

3. Funcţia de procuror este incompatibilă cu orice altă funcţie publică şi privată, cu excepţia activităţii didactice şi ştiinţifice

clip_image131 (se citeşte pentru orice x, dacă x are funcţie de procuror, atunci lui x i se interzice (I(x)) orice altă funcţie y, publică (PU(y-z)) sau privată (PR(y-z)), cu excepţia lui z, şi există cel puţin un z, permis lui x (P(x)), care poate fi activitate didactică (AD(xz)) sau/şi activitate ştiinţifică (AS(xz))).

4. Orice persoană, capabilă să întreţină cel puţin o persoană, este în stare să se întreţină pe sine:”x{[P(x)Ù$(P(y)ÙCÎ(xy)]®CÎ(xx)} (se citeşte pentru orice x, dacă x este persoană (P(x)) şi există, cel puţin, un y, astfel că y este persoană, şi x este capabil să-l întreţină pe y (CÎ(xy)), atunci x este capabil să se întreţină pe sine (CÎ(xx))).

Din cele expuse, ne putem convinge că logica predicatelor dispune de acei operatori care sunt indispensabili transcrierii, într-un limbaj formal, a propoziţiilor complexe naturale, care conţin atât propoziţii analizate (atributive, de relaţie etc.) cât şi propoziţii neanalizate (cu operatori interpropoziţionali).

Anunțuri
%d blogeri au apreciat asta: